数学研究哲学思考对数学教学的作用
【摘要】浅谈如何将数学研究中的哲学思考与高校数学教育有机结合，用数学研究中的哲学方法与哲学规律指导高等学校数学课程教学，提高教学效果，加深学生对学科的认识和理解。
【关键词】数学研究；哲学规律；高校教学研究；数学哲学；数学教学
一、数学研究的哲学方法
古今中外，数学研究的进展和哲学的发展总是息息相关的。例如：英国数学家布尔发表了《逻辑的数学分析》，初步奠定了数理逻辑的基础。数理逻辑对于数学其他分支如集合论、数论、代数、拓扑学等的发展有重大的影响，特别是对新近形成的计算机科学的发展起了推动作用。反过来，其他学科的发展也推动了数理逻辑的发展。另外[1]对于无限进行了详细的阐述，无限和有限的研究亚里士多德指出，既然研究自然是要研究空间的量、运动和时间的，其中一个必然不是无限的就是有限的。芝诺的三个著名悖论的提出与解决的过程在哲学上引发了人们对潜无限和实无限哲学理论的思考，这些思考也促进了微积分学关于完整的极限理论的建立。随着近代数学的发展，数学家徐利治提出了双向无限原则[2]，并在此原则指导下研究时间和空间问题时利用多层次模型进行新的探索。中国数学家在数学的方法论方面也进行了积极的研究并明确提出了化归原则，发展了抽象度分析法，审美知觉选择性原则[3]。这些原则在现阶段不仅指导着我们的数学研究工作，也同时指导着教学工作。笔者在有限元领域做了一些工作，深刻体会了学科之间的普遍联系和互相促进的作用。有限元方法属于计算力学的范畴，是解决工程中遇到的大量问题的一种强有力的方法，其解决问题范围非常广泛，从固体到流体，从静力到动力，从力学问题到非力学问题。而应用计算数学的方法则使其在理论分析方面不断深化，不断发展，从抽象分析的角度研究方程的求解问题。这些研究和发展能够指导实践的发展，使工程计算更加有效，更加有针对性。数学的曲折发展遵循着一定的哲学规律，在不断演变中获得新的进展和持续不断的生命力，但是哲学分析不能替代数学的具体研究，而应当使两者有机结合起来。
二、数学研究的哲学规律与数学教学的哲学关系
柏拉图认为眼和耳朵只是知觉的工具，但不是思考的工具。知识在于思索而不是印象，所以获取知识的是心灵，而非感官。由于数学研究工作者同时也是数学教育的实施者，如何将数学知识，数学的本质，以及数学的核心思想传递给学生。在教育实践中使数学课不仅传递知识，使学生在学习过程中理性思考，而且将知识转化成为实践，增加感性认识，指导学生发现问题，并通过思考和学习解决问题。
（一）教学过程是思辨的过程，对数学规律的认识有助于学生真正理解数学的本质
可以看到很多文章都阐述了大学数学课程知识内部的哲学关系，例如[4]指出微积分中的质量互变规律，否定之否定规律，概率论中的偶然性与必然性，共性与个性等等，当然在其他数学学科中也存在很多哲学规律。这些规律的研究和总结，是在对相关数学学科进行深入研究的基础上提出来的。这些规律的发现和应用，能够有效的推动教学过程，提高教学效率。在教学过程中，一门科目的知识结构往往是从概念，定义出发，然后得出一些基本结论和处理相关问题的方法，再将结论和方法应用于不同的问题，实现知识的扩展。大学工科数学课程的学习是从极限开始的，这往往也是学生容易产生巨大疑惑的地方，从初等数学的代数，几何等确定量的认识过渡到无穷量的认识，本质上是人类认识水平的飞跃，经过了漫长的思维发展过程和哲学思考的深化，同时这种认识的产生也是在现代科学发展基础上建立起来的。例如高等数学中的重要极限和函数极限运算法则总是比较容易搞混，即：学生总是用函数极限的运算法则来计算类似于重要极限的问题，则类似于左边的问题往往得到的答案是1，这显然是不对的。在数学分析中一定要区分无限和有限，比如函数极限的局部有界性，将其放到整个函数的定义域内就不能保证正确性。在无穷小的比较中，明确给出无穷小的比较也有阶的概念，对于无穷小的和可以是有界的，无穷小的，也可以是无穷大的。要想证明函数的单调有界必有极限这个重要的极限存在准则，必须要考虑实数的稠密性等等。所以在教学中使学生了解无穷的产生过程以及古人的哲学思考至关重要。人类对无限的认识是不断在发展的，例如康托的超限数理论，徐利治先生的双向无限性原则等都是人们对无限认识的一个过程。通过此教学过程，使学生充分认识无限和有限的巨大差别，思维方式产生了巨大的差别，分析问题的能力也得到提升。
（二）对数学理论的探索有助于准确把握课堂教学内容
在数学研究工作中，大学本科的基础课程和知识是进行进一步研究工作的基础，并且随着数学研究各个方向的不断深入，作为教学工作者对知识的理解不断深化，这种深化不是通过教学重复得到的，是在应用的过程中的深化，在解决新问题的过程中的理解，例如高等数学中的格林公式，表述的是闭区域上的二重积分和围绕区域边界的正向光滑曲线积分的等量关系的一个公式，这里P，Q，R，均为具有一阶连续偏导数的函数。在教学过程中如果仅就此公式进行讲解显然内容单薄，学生也会觉得这个公式没有什么用，但是如果能进一步在教学的过程中前后联系，牛顿莱布尼兹公式，分部积分法，高斯公式，斯托克斯公式均是属于格林公式的范畴，并且在变分学的意义下，这些公式均是叫做格林公式。我想这样对于初学微积分的学生来说，高等数学这门课程的内在联系就会更清晰的展现在学生面前。当然这还仅仅局限在课本范围内对学生的讲解，再进一步，像电磁理论中的格林定理，高斯定理，无源场，无旋场，流体力学，热力学，电学等学科中有广泛的应用，例如[5]文中给出了几个实用性的例子。在变分学意义下，格林公式变化更加丰富，例如等等，当然我们在这里不能穷尽格林公式的各种形式。通过这样的一步步的递进式教学，学生已经对格林公式有了感性认识，再更进一步讨论此问题，将格林公式在数学上的很多不同的形式引入课堂，这样从学生的角度格林公式不再是一个简单的公式，而是具有了很强理论和应用价值的很重要的知识。在此教学过程中，教师对数学理论知识研究的深度决定了教学内容的高度，所以数学研究与教学是相辅相成的，数学研究对教学过程具有指导和促进作用。通过课堂知识教学将课本知识延伸到理论知识和应用实践，开阔学生视野，适合高校对学生培养的最终目标。
三、对数学发展的哲学规律的研究有助于培养学生发现、创造能力
马克思辩证法的基本原理指出矛盾双方相互依存，相互转化，相互包含，在相互促进作用中得到发展。经典数学中命题分为真命题和假命题，[2]将此定义为“无中介原则”。虽然经典数学并未将无中介原则作为公理明确列出，但是在逻辑和知识系统的建立和展开中，无形地将此原则贯穿于始终。但是随着数学理论和解决问题的方法不断发展，可以看到这种原则并不总是正确的。1983年朱梧和肖溪安先生共同提出中介逻辑系统ML和中介公理几何论系统MS，简称中介数学系统MM，承认对立面有中介状态的马克思主义哲学原理，构造系统时无条件贯彻“中介原则”的一种逻辑系统和集合论系统，[2]指出MM为精确性经典数学和未来处理模糊现象的不确定性数学提供了一个共同的理论基础。掌握数学理论的新进展，在教学中坚持发展变化的观点理解知识，融入教学：微积分经历了漫长的发展，直到十九世纪基础理论才日益完善，人类对数学的研究由常量到变量。概率论的建立是将数学的研究对象从确定性到随机性的扩展，康托集合论的创立，不仅为整个经典数学提供了一条共同的理论基础，更重要的是由此完成了数学研究由有限，潜无限再到实无限的再扩充。本世纪六十年代，由扎特（Zadeh）创始而被发展起来的模糊集理论，标志着数学的发展已进入了数学研究由精确性到模糊性的再扩充。随着近年来网络的发展，数据的收集和整理凸显出了重要的作用，一些新的数据分析方法不断的被提出，大数据分析作为一门新兴的学科，越来越多的科研工作者投入其中。从而可以看到，数学一直处在发展变化的过程中，作为数学教育工作者，能正确的把握学科发展变化，并将这些发展变化融入教学过程，是非常重要的，例如在学习数学分析的微分和积分内容时，引入相应的数值计算方法，将建立在一维问题上的处理问题的方法扩展到二维三维，以及有限元方法，这些知识的延伸思考和讲解，有助于扩展学生思维，培养学生发现问题的能力。也可以使学生认识到学科发展的无限性，并且这个过程是一个不断更新的解决新问题，产生新方法的动态发展过程。
四、结束语
要进行深入的数学研究，一方面要具有深厚的数学知识，另一方面也要运用哲学工具指导研究过程，避免盲目性。传播知识和科学研究是高校的主要职能，学习和发现数学理论中的哲学规律与高校数学教学是相互促进的，教学过程也是一个对知识理解加深的过程，反过来促进研究的进行。而在教学的过程中引入哲学思考，不但促进大学生思维的发展，培养大学生的创新能力，并且能够很好的提高教学效果。
【参考文献】
[1]郑毓信，刘晓力.数学的无限与哲学的无限[J].内蒙古大学学报（哲学社会科学版），1987（2）：47-56.
[2]朱梧.我的数学研究与哲学思考[J].自然辩证法研究，1991（7）：14-21.
[3]郑毓信.数学哲学、数学方法论与数学教育哲学———兼论数学哲学研究的方法论问题[J].南京大学学报（哲学•人文•社会科学），1995（8）：71-77.
[4]包海臣.“格林公式”的物理原型及其它[J].职大学报，2005（2）：61-62.
[5]孙涛，裴丽芳.高等数学中的哲学思想[J].高师理科学刊，2015（4）：61-64.
[6]刘庚.经管类高等数学研究性教学方法的探索与实践[J].高教学刊，2017（07）：131-132.
[7]王平，王芳.博雅教育理念下高校工科数学研究型教学探索和实践[J].高教学刊，2018（01）：1-3.